19世纪美国教科书中，长除法通常以除数、被除数、商同行的括号分隔形式呈现。约翰·希尔（John Hill）1772年的《算术》（Arithmetick）展示了这种符号，并在小数除法中使用上划线（vinculum）标记被除数。詹姆斯·B·汤姆森（James B. Thomson）1882年的《完整分级算术》（Complete Graded Arithmetic）中，短除法符号的下划线几乎与闭括号底部连接，商写于下划线下方。而G·A·温特沃思（G. A. Wentworth）1888年版《代数基础》（The Elements of Algebra）的教师版中，上划线几乎与闭括号顶部相接，商写于上划线之上。
詹姆斯·B·汤姆森（James B. Thomson）1882年的《完整分级算术》（Complete Graded Arithmetic）中，短除法符号的下划线几乎与闭括号底部连接，商写于下划线下方。而G·A·温特沃思（G. A. Wentworth）1888年版《代数基础》（The Elements of Algebra）的教师版中，上划线几乎与闭括号顶部相接，商写于上划线之上。丹尼尔·W·菲什（Daniel W. Fish）1901年的《鲁宾逊完整算术》第二版延续了汤姆森的符号体系，但下划线实际与闭括号相连。大卫·尤金·史密斯（David E. Smith）指出：“长除法符号的现行排列方式无法确定确切起源时间，因其演变过程具有渐进性。”
随机推荐
短除法（Short Division）是在分解质因数时，在被除数的下边，直接写出商来，而不再一一写出各步的积以及剩余数的除法格式。
具体来说短除法是：先把各个数公有的因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，把除得的商写在该数的下方，一直除到各个商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。短除法也可用来求最小公倍数。
运用短除法求最大公因数和最小公倍数的理论基础是分解质因数，在求“两最”的实际演算操作中，往往将分解质因数和筛选共有质因数同步推进，将两个数放入一个短除号内进行同步分解，因此，短除法应运而生。
19世纪美国教科书中，长除法通常以除数、被除数、商同行的括号分隔形式呈现。约翰·希尔（John Hill）1772年的《算术》（Arithmetick）展示了这种符号，并在小数除法中使用上划线（vinculum）标记被除数。詹姆斯·B·汤姆森（James B. Thomson）1882年的《完整分级算术》（Complete Graded Arithmetic）中，短除法符号的下划线几乎与闭括号底部连接，商写于下划线下方。而G·A·温特沃思（G. A. Wentworth）1888年版《代数基础》（The Elements of Algebra）的教师版中，上划线几乎与闭括号顶部相接，商写于上划线之上。
定义
短除法（Short Division）是在分解质因数时，在被除数的下边，直接写出商来，而不再一一写出各步的积以及剩余数的除法格式。它是长除法的省略形式。
简史
除号（÷）作为除法符号首次由约翰·拉恩（Johann Rahn，1622-1676）在1659年的《德意志代数》（Teutsche Algebra）中使用。拉恩的著作于1668年由约翰·佩尔（John Pell）翻译并增补后在伦敦出版，保留了该符号。尽管有观点认为佩尔可能是符号发明者，但无直接证据支持这一主张。19世纪美国教科书中，长除法通常以除数、被除数、商同行的括号分隔形式呈现。约翰·希尔（John Hill）1772年的《算术》（Arithmetick）展示了这种符号，并在小数除法中使用上划线（vinculum）标记被除数。
詹姆斯·B·汤姆森（James B. Thomson）1882年的《完整分级算术》（Complete Graded Arithmetic）中，短除法符号的下划线几乎与闭括号底部连接，商写于下划线下方。而G·A·温特沃思（G. A. Wentworth）1888年版《代数基础》（The Elements of Algebra）的教师版中，上划线几乎与闭括号顶部相接，商写于上划线之上。丹尼尔·W·菲什（Daniel W. Fish）1901年的《鲁宾逊完整算术》第二版延续了汤姆森的符号体系，但下划线实际与闭括号相连。大卫·尤金·史密斯（David E. Smith）指出：“长除法符号的现行排列方式无法确定确切起源时间，因其演变过程具有渐进性。”
优点特性
短除法的格式简洁直观，充分体现了求“两最”的流程、算理、技巧，算式美观整齐，易学易懂易操作。实践证明，学生在求“两最”时，乐于使用短除法。比如：在“求最大公因数”的综合应用题中，计算、约分等步骤，一般都是处理两个数。按照短除法的原理，先预判两数是否为2、3、5的倍数，然后直接用两个数的共有质因数进行整除，一步步化为最简分数。再如解答“最小公倍数”应用题时，在计算、分母通分时，用短除法更容易找出两个分数的最小公分母，步骤简练，计算的效率和准确性也有了保障。
灵活性
短除法在求取最大公因数时具有一定的灵活性。在使用短除法时，每一步提取的公因数不一定非要是质数，它也可以是合数。关键在于，这个被提取的公因数必须是待测数的公因数，其大小没有限制。如果能够一步到位地找准两数的最大公因数，那当然是最理想的。如果不能，就需要一步步地检索完两个数的所有公因数，尽可能用最少的步骤快速找完所有并列的公因数。
值得注意的是，与列举法不同，短除法在每一步找出的公因数（即使是合数）都是互斥的，互不交叉包含。例如，当对72和48进行短除时，第一次短除提取的公因数是4，第二次短除提取的公因数是6。这两个公因数是独立互斥的，各自包含一个质因数2。如图1，72和48的最大公因数就是这两个公因数的积，即4×6=24。由此可见，短除法每次提取的公因数可以是合数，大小不限。但是，这个过程需要一直进行到剩余因数互质为止。例如，在上述例子中，剩余的因数为3和2，它们互为质数，这说明短除已经触底，无法再继续进行。
另外，在求多个（三个及以上）数的最大公因数时，方法相似，可以将三个数一并短除。但是，在求多个数的最小公倍数时，则不能一并短除，而要采取两两短除的方式。具体步骤是先求出两个数的最小公倍数，再用这个最小公倍数与第三个数进行短除，从而求出三个数的最小公倍数。如图2、3、4。
相关概念
长除法是一种正式的除法计算方法，常被称为"巴士站法"或"标准算法"。其书写形式与短除法（short division）不同，呈现方式较为松散。长除法最常用于除数为较大数位的运算——在课程标准中，通常指两位数除数（或作为拓展挑战的三位数除数）。该方法既适用于能整除的情况，也可处理有余数的运算。下图提及的前两个案例更常被称为"部分商法"或"分块计算法"；第三个案例则是短除法书写形式的扩展版本。
理论基础
运用短除法求算“两最”（最大公因数和最小公倍数）的理论基础是分解质因数。具体步骤如下：首先，对两个数分别进行质因数分解。例如，对于18和30：18可以分解为2×3×3；30可以分解为2×3×5。接下来，提取两个数的共有质因数以及各自的独有质因数。在这个例子中，共有质因数是2和3，而独有质因数分别是18独有的一个3，以及30独有的一个5。然后，将各个共有质因数相乘，求出最大公因数。对于18和30，最大公因数是2×3=6。最后，将全体共有质因数与各自独有质因数相乘，求出最小公倍数。对于18和30，最小公倍数是2×3×3×5=90。
应用
分解质因数的通用方法是短除法，可以通过短除法的图示来辅助理解这一过程，如下：
（a）图展示了单独对18进行质因数分解的过程；（b）图展示了单独对30进行质因数分解的过程；（c）图展示了将18和30放入一个短除号内进行同步分解的过程，这也是在实际求“两最”时常用的方法。分解质因数的理论基础是算术公理，它表明任意一个大于1的自然数，都能分解成若干个质数的积，并且这样的分解式是唯一的，即任何一个数的质因数的大小与数量是固定的，因此，两个数的共有质因数的大小以及数量也是固定的，剩下的独有因数也是不变的。另一方面，由于每个数都是通过一步步做除法求出质因数，各个质因数之间是相乘的关系，这也证实了利用“乘积”求出“两最”（最大公因数和最小公倍数）的合理性。求“两最”的短除法与分解单个数的质因数方法相似，唯一不同的是，在求“两最”时需要利用以下定律：两个数的所有共有质因数是它们最大公因数的因数，两个数的最小公倍数是它们所有共有质因数和独有因数的乘积。
计算最大公因数
首先，把18和30分别分解质因数：18=2×3×3，30=2×3×5接着，求它们的最大公因数：由分解质因数的结果可以直接判断，18和30的共有质因数为一个2和一个3。于是，全体共有质因数的乘积为2×3=6。毫无疑问，这个乘积是18和30的公因数，且由于这个乘积是将所有共有质因数求积得出的，它必然是公因数中最大的那个。因此，两数的最大公因数必然是两数所有共有质因数的乘积。
计算两数最小公倍数
计算两数最小公倍数的原理剖析：两数的所有公倍数，一定是这两个数的倍数。例如，18和30的所有公倍数，既是18的倍数也是30的倍数。根据倍数的传递性，这些公倍数也一定是这两个数所有因数（包括非质因数）的倍数。这意味着，要找到一个数，它既是18的所有因数的倍数，也是30的所有因数的倍数。
为了得到最小公倍数，需要确保这个数包含的质因数尽可能少。具体来说，对于两个数的共有质因数，只在计算中包括一次，不重复计算。以18和30为例，它们的共有质因数是2和3（注意，这里的3只计算一次），而18独有的质因数是另一个3（因为18=2×3×3），30独有的质因数是5（因为30=2×3×5）。因此，18和30的最小公倍数就是这些质因数的乘积，即2×3×3×5=90。简而言之，两个数的最小公倍数，就是这两个数所有共有质因数与各自独有质因数的总乘积。
相关争议
刘畅老师的论文《重在怎样教“短除法”》（下文统称为“《刘版》”）和陆晓林老师的论文《也谈“短除法”》（下文统称为“《陆版》”）阐述了对于短除法教学的不同观点。对于短除法，在现行课标部署下，教材一般作出两种处理方案：一种方案是将短除法这一知识点作为计算最大公因数和最小公倍数（后文简称“两最”）的拓展内容，作为番外篇单独编排在附录中，是否教学该内容让一线教师难以取舍。另一种方案是将短除法作为正式内容放入主篇幅，简省了算理分析只教算法，这样一来，虽然是必修内容，但是讲不讲解算理也让教师颇为踌躇。《刘版》的看法是教短除法责无旁贷，并从算理的角度作了详细论述。而《陆版》则以实验班和普通班作为对象进行对照试验，倾向于放弃短除法的教学，认为“弃用短除法启用列举法才是两利相权取其重”。
参考资料
Earliest Uses of Symbols of Operation.math.hawaii.edu.2025-05-23
..2023-12-24
What Is Long Division? Explained For Elementary School.thirdspacelearning.2025-05-23